針對誤差補償模型的研究從不同角度揭示了機床溫度與熱誤差之間的關系. 常用的建模方法有: 最小二乘法擬合建模[ 2] , 基于多體系統理論的綜合建模[ 3] , 時間序列分析建模[ 4] , 神經網絡建模[ 5-8] , 灰色理論建模[ 9-10] 等, 其中神經網絡和灰色模型是近年來應用較多的2 種機床熱誤差補償模型. 機床的熱誤差預測模型是典型的、復雜的非線性系統, 影響因素繁多, 因此, 單一的建模方法雖然取得了一些成功應用, 但難以推廣到其他結構的機床中去, 而且補償精度也有待于進一步提高。

在分析灰色模型和神經網絡2 種模型理論的基礎上, 結合兩者對數據處理的特點, 提出2 種不同結構的灰色神經網絡預測模型: 并聯型( Parallel GreyNeur al Netw o rk, PGNN ) 和嵌入型( Inlaid GreyNeur al Netw o rk, IGNN) . 在建立數學模型后, 將其用于實際工作狀況下的機床熱誤差預測試驗, 并且與傳統的灰色模型和神經網絡進行對比分析. 結果表明: 2 種結構的灰色神經網絡模型預測結果符合預期目標, 無論是預測精度還是魯棒性等指標均較傳統模型有大幅提高。

1. 1 GM( 1, N ) 預測模型理論

在使用灰色模型對機床熱誤差進行預測時, 首先需要利用已經獲得的關鍵測點溫度數據和熱誤差數據建立GM ( 1, N ) 模型. 設 為熱誤差序列, 為關鍵溫度測點的溫度序列, 其中i= 2, 3,...,N , 表示該模型共選取了N - 1 個關鍵溫度測點. 它們的一次累加生成序列為

式中, n 為序列長度. 取序列相鄰兩項的平均值可生成序列:

由此可建立GM( 1, N ) 模型:

式中: a 為模型發展系數; bi 為灰作用量.

設式( 4) 中系數a 和b i 構成系數矢量:

由n- 1 項熱誤差數據構成的列矢量為

經過一次累加處理的熱誤差及溫度數據構成矩陣:

因此, 式( 4) 可表示為矩陣方程組:

根據最小二乘法原則, 可求出該模型的系數矢量:

根據灰色理論可知, GM( 1, N ) 的近似時間響應式可表示為

式中:

將式( 6) 計算的系數矢量代入式( 7) 可得出序列, 通過

一次累減還原, 就可得到GM ( 1, N ) 模型對于熱誤差的預測值.

1. 2 BP 神經網絡預測模型理論

BP 神經網絡是目前應用最廣泛的一種神經網絡, 具有非線性映射的特點, 其學習過程由正向數據傳播和反向誤差傳播組成. BP 神經網絡的輸入層接收機床的溫度數據, 因此, 選擇的溫度測點數量決定了輸入層神經元節點的數量, 這里設定為n. 模型的輸出為熱誤差預測值, 所以輸出層有1 個節點. 隱藏層的節點數量往往根據經驗確定[ 6-7] . 輸出層的傳遞函數為線性函數. 輸入層、隱藏層傳遞函數為Sigmoid型. 在對神經網絡進行訓練時, 采用梯度下降法不斷修正各個神經元的閾值和權值, 直到網絡輸出精度符合預定要求為止.

1. 3 并聯型灰色神經網絡

PGNN 預測模型的思路是: 首先分別用GM( 1,N) 和BP 神經網絡分別對機床熱誤差進行預測, 然后對預測結果適當有效組合作為實際預測值. 其原理如圖1 所示.

PGNN 模型的實質是組合預測, 目的是綜合利用各種建模方法所提供的信息, 避免單一模型丟失信息的缺憾, 提高綜合預測精度. 若假設y ( t) 為t 時刻的實際測量值, 則線性組合公式可表示為

式中: y^( t) 為組合模型對y ( t) 的預測值;

y^1 ( t) 、y^2 ( t)分別為灰色模型和神經網絡對y ( t) 的預測值; k1 ( t ) 、k2 ( t) 分別為灰色模型和神經網絡的加權系數.

2 種單一模型的加權系數k1 ( t) 和k2 ( t ) 在任意時刻都必須滿足下列條件:

k1 ( t) + k2 ( t) = 1 ( 10)

確定k1 ( t ) 和k2 ( t) 是關系到模型預測精度的重要問題[ 1] . 考慮到機床熱誤差補償的實時性要求, 本文采用定權預測, 即k1 和k2 始終保持不變, 并根據有效度[ 11] 概念確定其具體數值.

根據上述假設, 可以定義預測模型在時刻t 的預測精度為

由A m( t) 構成模型的預測精度序列, 該序列的均值與均方差分別為

則預測模型的有效度可定義為

由式( 14) 可知, 預測模型的有效度S 越大, 其預測精度越高, 模型越有效. 文獻[ 11] 中給出了對此近似求最優解的方法, 但是十分復雜. 本文使用一個計算簡便且物理意義明確的方法確定加權系數k1 ,k2 . 由式( 11) ~ ( 14) 可分別求出灰色模型GM( 1,N ) 和神經網絡的有效度S1、S 2 , 將其歸一化處理后即可得到加權系數k1、k2 .

1. 4 嵌入型灰色神經網絡

IGNN 借鑒了灰色理論思想對BP 神經網絡的拓撲結構進行了改造, 旨在強化BP 神經網絡對數據的處理能力: 加快運算速度, 增加魯棒性, 增強模型的容錯能力. IGNN 結構如圖2 所示.在BP 神經網絡的輸入層前增加一個灰化層,其作用是將原始數據按照式( 1)、( 2) 做一次累加處理, 生成新的數據序列, 有效弱化原始數據的隨機性. 由于一次累加序列是單調遞增的, 有利于發揮BP 神經網絡的非線性擬合作用, 網絡的學習時間會大大減少, 在增加預測精度的同時也加快了收斂速度. 在輸出層后增加一個白化層, 其作用則是按照式( 8) 對神經網絡的輸出數據做一次累減還原處理, 以最終得到IGNN 對機床熱誤差的預測值.

本試驗在一臺數控車削中心上進行溫度和熱誤差數據采集. 在實際加工過程中, 機床的各個部件都會產生不同程度的溫度變化, 有些對熱誤差影響較大, 有些影響甚微[ 10] . 為了優化試驗過程和減少數據冗余, 如圖3 所示, 本試驗在機床的4 個關鍵位置布置溫度傳感器, 分別用于測量機床冷卻液箱、x 軸螺母、機床主軸和機床床身的實時溫度. 通常情況下, 高檔數控機床的加工精度會受到環境溫度變化的影響, 所以有必要實時測量機床所處的環境溫度.

如圖4 所示, 固定在床身的2 個位移傳感器分別用于測量z 、x 軸方向的加工誤差. 考慮文章篇幅, 本文僅對x 軸方向的熱誤差進行建模及說明, z軸方向的熱誤差可以采用相同方法.

為了盡可能多地獲得機床在各種加工條件下的溫度和誤差數據, 試驗對多個加工過程( 機床運轉-停機- 再運轉- 再停機- 再運轉) 進行測量, 每5min 進行1 次數據采集, 總共采集了130 組數據, 耗時650 min. 所得溫度和誤差數據如圖5、6 所示.

由圖5、6 可見, 機床從冷態開始運轉, 機床各部件溫度變化較快, 熱誤差的變化速度也相應較快, 但當機床各部件達到熱平衡狀態時, 熱誤差不再繼續增長, 而是維持在一定范圍內波動; 停機一段時間后, 機床溫度下降, 熱誤差隨之減小; 機床再次運轉后, 隨著溫度的再次上升, 熱誤差又逐漸增大, 隨后機床再次進入熱平衡狀態, 熱誤差在小范圍內波動.

為了驗證PGNN 和IGNN 模型的有效性, 并且和單一灰色模型GM( 1, N ) 及BP 神經網絡進行預測效果的比較, 本文采用48 組數據( 第56~ 103 組)對不同模型進行訓練.

3. 1 GM( 1, N ) 模型建立

GM( 1, N ) 模型序列長度取6, 并采用等維滾動訓練方法, 即每次預測一個機床熱誤差后, 將向該模型添加一組新數據, 去掉一組最老數據, 保持數據序列長度不變, 重新建模預測下一值. 模型中表示熱誤差值 ( i= 2, 3, ..., 6) 分別表示5 個關鍵熱源: 切削液、主軸箱、x 軸螺母、床身和環境溫度,將其做一次累加處理后代入式( 3) ~ ( 6) , 求出灰色模型的系數矢量, 最后由式( 7)、( 8) 求出灰色模型預測的機床熱誤差數據.

3. 2 BP 模型建立

BP 神經網絡預測模型的拓撲結構為5-8-1, 即輸入層有5 個節點, 接收5 個關鍵熱源的溫度數據;隱藏層有8 個節點; 輸出層有1 個節點, 輸出機床熱誤差預測值. 由于輸入層和隱藏層采用了Sigmoid函數, 其值域為[ 0, 1] , 為了提高網絡收斂速度, 需要對溫度數據進行規范化處理, 變換到[ 0, 1] 之間. 輸出層采用線性傳遞函數. 設定學習速率為0. 01, 最大訓練次數為12 *103 次. 學習目標取總誤差為0. 01.

3. 3 PGNN 模型建立

在該結構的組合預測模型中, 取BP 神經網絡的結構為5-8-1, 其余參數設置同3. 2 節. 取GM( 1,N) 的序列長度為6, 同樣采用等維滾動訓練.由式( 11) ~ ( 14) 計算BP 神經網絡和GM( 1,N) 的有效度分別為S 1= 0. 674, S2 = 0. 527. 因此,2 種單一預測模型的加權系數由式( 15) 計算可得k1= 0. 561, k2 = 0. 439. 將其代入式( 9) 可得PGNN的組合預測結果. 圖7 所示為PGNN 模型的建模計算流程圖.

3. 4 IGNN 模型建立

BP 神經網絡前的灰化層將原始數據按式( 1) 、( 2) 作一次累加平滑預處理, 神經網絡后的白化層對輸出數據按照式( 8) 進行一次累減還原處理. 在該模型中, 神經網絡的拓撲結構也取5-8-1, 其余參數設置同3. 2 節.

3. 5 模型驗證及對比分析

通過上述計算過程, 得到4 種不同的熱誤差預測模型. 下面用55 組數據( 第1~ 55 組) 進行模型驗證. 圖8所示為4種預測模型對實際熱誤差的擬合情況及及預測殘差. 其中, 殘差為實際熱誤差和模型預測結果做差值運算后得到.

由圖8 可得:

( 1) 無論機床是否達到熱平衡狀態, 2 種結構的灰色神經網絡模型預測效果均優于單一GM( 1,N ) 和BP神經網絡模型. 說明組合預測模型至少是非劣性模型, 當事先無法預知模型預測效果時, 使用組合預測可以提高預測精度, 有一定的實用價值.

( 2) 在優化選取PGN N 模型的加權系數后, 可使其預測精度高于其他3 種模型, 殘差平均值和方差是4 種模型中最小的, 且基本圍繞零軸分布.

( 3) IGNN 模型和傳統BP 相比多了灰化層和白化層, 減少了數據的隨機性對模型預測精度的影響. 由圖8( b) 可見, 由于受溫度等外部環境突變的影響, 在第28 和第40 組試驗數據處, BP 神經網絡的殘差絕對值遠大于相同模型的其他點, 但IGNN的殘差相對變化幅度較小, 起到了弱化數據隨機性和降噪的效果.

( 4) 在機床未達到熱平衡狀態時, 機床各部件的溫度處于不斷變化的狀態, 而且造成的熱變形也不盡相同. 傳統神經網絡和灰色模型未能很好地反映這一快速變化的過程, 因此預測結果和實際情況有較大偏差. 隨著溫度不斷升高, 直到機床基本處于熱平衡狀態時, 兩者的預測精度有所提高, 但和組合灰色神經網絡模型相比仍有一定差距.綜上所述, 灰色神經網絡預測模型在任何工況下都具有較高的預測精度, 至少可將數控機床加工精度提高約70% . 具體對比結果如表1 所示.

試驗結果及模型比較表明, 2 種組合預測模型PGNN 和IGNN 由于結合了灰色理論和BP 神經網絡優點, 有效避免了單一模型丟失信息的缺憾, 大幅提高了模型的預測精度. 相對于其他模型, 本文模型具有算法成熟、建模精度高、魯棒性強, 且對原始數據數量要求低等優點, 適合作為復雜加工場合中的誤差預測補償模型.